Делимост на целите числа

Легенда

(Променлива)е(Множество) – аeN – a принаделжи на множеството на естественните числа

Променлива(множество) – а(N) – a принадлежи на N

Е – ∃ – Съществува

V – За всяко

: – Такова че (в контекст на символно изразяване)

! – (Символно изразяване) Единствени – (Логически контекст) логическо отрицание, а!=0, четем а не е равно на 0

Делимост на целите числа

В тази статия под число имаме предвид променлива от множеството на целите числа. Z = {…,-2,0,5,…}.

В това множество операцийте сума, разлика, произведение на 2 цели числа също е цяло число. Частното на две цели числа не винаги е цяло число, затова се заражда нуждата от правила за делимост в множеството на целите числа.

Определение

Ще казваме, че b дели a ако а може да се изрази чрез следното равенство a=b(Z)*q(Z)

Символно

VaEb_n:a=b_n*q_n ; neN, n>2, beZ, qeZ

Пояснение: n>2

Защото всяко число се дели на себе си и на едно, тоест:
При а=bq

1. b=a, a=a*1
2. b=1, a=1*a

Означаваме

b|a – b дели а

Свойства

1. Va, a|a
2. a|b, b|a => a=b, a=-b
3. a|b, b|c => a|c
4. а|b, c(Z) => a|b*c
5. a|b, a|c => a|b+(-)c
6. a|b₁, a|b₂, …, a|b_n ; c₁, c₂,…, c_n =>a|(c₁b₁ + c₂b₂ + … + c_nb_n
7. a|(a₁ + a₂+…+a_n), a|a₁, a|₂, …, a|a_n-1 => a|a_n

Следствия

1. а|(b+c), a|b => a|c (От св.7)

Теорема за делене с остатък

Определение

Всяко а(Z) може са се представи по единствен начин чрез b(N) във вида а=bq+r, 0<(=)r < b

Символно

VaE!b,q,r:a=b*q+r ; beN ; q,reZ ; 0<(=)r< b

Доказателство

0 <(=) a < b

a=b*0 + a ; r=a, q=0

b<(=)a

Eq₁(N):b*q₁>a => b*q₁-1<(=)a < b*q
Нека q(N) = q₁-1
bq<(=)a < b(q+1) => bq<(=)a < bq+b
От beZ (По определение) => а = bq + {0,1,…,b-1}
r = {0,1,…,b-1}
a=bq + r

a<0

-a>0
-a=bh+k, 0<(=)k < b => a=b(-h)+(-k) => b(-h)-b+b-k => b(-h-1)+b-k
Нека, а:=-h-1, r:=b-k
Тъй като 0<(=)k< b => 0<(=)(b-k)=(r) < b
a=bq+r

Единственост

Ще докажем единствеността на тъждеството а=bq+r.
За целта предполагаме обратното.

Доказателство

Нека:

1. а=bq+r
2. a=bq₁+r₁

Оттук:

bq+r = bq₁+r₁ => b(q-q₁)=r₁-r => b|r₁-r

От r < b, r₁< b (По определение) => |r₁-r|< b => r₁-r = 0 => q=q₁, r=r₁

Пояснение: |r₁ – r|< b => r₁ – r = 0

Нека b|a. По определение а=bq

При |a|< b
Пример: 5|2 => 2=5*q, От q(Z) => #

Тоест, единствената възможност а < b, a=0 => 0=5*0 => q=0

Следствия

1. m|n, |n|<m => n=0
2. m|n, n!=0 => |m|<(=)|n|

Този цитат "Делимост на целите числа" е от Уикипедия. Списъкът с редактори може да се види в историята на редакциите  and/or the page Edithistory:Делимост на целите числа..

Този цитат е от Уикипедия. Списъкът с редактори може да се види в историята на редакциите.

---

 Facebook Page

 Follow us on Twitter !

Read or create/edit this page in another language

• Делимост на целите числа in English